Kita sering banget denger istilah "usaha" dalam kehidupan sehari-hari, kan? Nah, usaha itu sebenernya adalah kegiatan yang kita lakukan dengan pake tenaga, pikiran, atau badan buat mencapai suatu tujuan atau keuntungan. Banyak banget peluang di sekitar kita yang sebenernya simpel banget, tapi bisa jadi peluang bisnis kalo kita bisa memanfaatkan pengetahuan dan kreativitas yang kita punya.
Dengan berusaha, kita bisa meningkatkan dan memanfaatkan konsep matematika yang kita pelajari dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam usaha. Mulai dari ngelola keuangan kita sendiri, ngatur waktu, nyiptain produk atau barang yang dibutuhin sehari-hari, sampe ngelakuin kegiatan sosial.
Pengetahuan atau konsep matematika yang kita butuhin tuh meliputi gimana cara ngelola dan ngitung sumber daya yang terbatas. Kita harus bisa cari tahu dan analisis kebutuhan pasar, cari ide usaha yang oke, tentuin harga jual yang sesuai dengan perhitungan biaya yang kita keluarin, dan juga bangun jaringan dan promosi yang efektif.
Jadi, intinya matematika itu penting banget buat sukses dalam usaha dan kehidupan sehari-hari. Kalo kita bisa ngelakuin manajemen yang baik dan ngitung-ngitung yang bener, peluang sukses kita makin besar.
Penggunaan persamaan linear dalam dunia usaha dan masalah sehari-hari
Nah, sekarang kita bakal bahas tentang penggunaan persamaan linear dalam dunia usaha dan masalah sehari-hari. Tujuannya adalah untuk ngeliat konsep sistem persamaan linear yang bisa kita terapin dari masalah-masalah yang ada dalam konteks kehidupan kita sehari-hari.
Dalam hal ngalokasin belanja barang atau produksi barang, kita pasti punya informasi atau asumsi tentang kebutuhan manusia sesuai dengan karakteristik masyarakatnya. Nah, dari situ kita bisa tentuin jenis produk yang pas, nentuin sasaran yang realistis, pake teknik pemasaran yang efektif, dan juga memprediksi kebutuhan. Nah, inilah kenapa penguasaan konsep matematika itu penting banget, karena bantu banget dalam menyelesaikan masalah ini.
Kalo kita mau memprediksi jenis dan jumlah kebutuhan barang di pasar oleh konsumen, kita perlu ngerti tentang peluang. Nah, nilai peluang itu ditentuin berdasarkan tingkat kemungkinan atau data pasar sebelumnya. Misalnya, pas menjelang hari raya, kebutuhan atau peluang konsumsi masyarakat itu lebih tinggi dari hari-hari biasa. Nah, di sinilah konsep matematika berguna banget buat ngalokasin barang di pasar.
Jadi, konsep persamaan linear ini emang punya peran yang penting dalam dunia usaha dan masalah sehari-hari. Dengan penguasaan matematika yang baik, kita bisa nentuin keputusan yang tepat dalam mengalokasikan barang dan merespon kebutuhan pasar dengan lebih efektif.
Kita siapin dulu uang Rp 150.000,-, trus kita ke tiga toko, ya toko A, toko B, dan toko C. Dari toko A, kita beli buah jeruk dengan uang Rp 40.000,- dan dapat 8 kg jeruk. Nah, dari toko B, dengan uang Rp 80.000,- cuma dapet 2 kg anggur, sisanya kita beli di toko C dan dapat 6 kg jambu.
Nah, sebenernya kegiatan sederhana ini bisa kita ungkapin pake bahasa matematika, lho. Misalnya:
x = harga per kg jeruk di toko A
y = harga per kg anggur di toko B
z = harga per kg jambu di toko C
Terus kita dapet tiga persamaan: 8.x = Rp 40.000,-; 2.y = Rp 80.000,- dan 6.z = Rp 30.000,-
Kita bisa simpulkan:
Gitu, jadi kita bisa tentuin harga per kilogram buah di masing-masing toko. Jeruk di toko A harganya Rp 5.000,- per kg, anggur di toko B harganya Rp 40.000,- per kg, dan jambu di toko C harganya juga Rp 5.000,- per kg.
Jadi, dengan harga per kilogram jeruk Rp 5.000,-, harga per kilogram anggur Rp 40.000,-, dan harga per kilogram jambu Rp 5.000,-, kita bisa buat persamaan yaitu 8x + 2y + 6z = 150.000.
Nah, sekarang kita punya modal Rp 1.000.000,- yang mau dipake buat beli 5 kotak buah mangga, 3 kotak buah jeruk, dan 2 kotak buah manggis. Kalo kita pake variabel,
x itu harga per kotak buah mangga,
y itu harga per kotak buah jeruk, dan
z itu harga per kotak buah manggis.
Jadinya, persamaannya:
5x + 3y + 2z = 1.000.000
Begitu, gitu persamaan matematikanya dari masalah ini. 5 dikali harga per kotak buah mangga ditambah 3 dikali harga per kotak buah jeruk ditambah 2 dikali harga per kotak buah manggis sama dengan modal awal Rp 1.000.000,-.
Yuk kita jawab soal berikut
Pahami soal berikut dengan seksama, selesaikan dan tuliskan di kolom jawaban !
Jika, sebuah dadu disamping saya lempar sekali.
Berapa banyak kemungkinan yang akan muncul?
Angka berapa saja?
Jawab:
Ketika saya melempar dadu sekali, ada enam kemungkinan yang dapat muncul sebagai hasilnya. Angka-angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Jika sebuah dadu dilempar sekali, kemungkinan yang akan muncul adalah enam. Dadu memiliki enam sisi yang masing-masing memiliki angka 1 hingga 6. Oleh karena itu, terdapat enam kemungkinan angka yang bisa muncul saat dadu dilempar sekali.
Di Pasar Buah dan Sayuran, suasana sangat sibuk. Toko A, Toko B, dan Toko C semuanya menjual jeruk mandarin. Pak Zaenal ingin membeli 5 kg jeruk mandarin dari Toko A, 2 kg dari Toko B, dan 7 kg dari Toko C dengan total biaya Rp 140.000. Kita bisa mengungkapkannya dalam kalimat matematika yang sederhana dengan menggunakan variabel.
Misalkan:
x = harga jeruk mandarin di Toko A
y = harga jeruk mandarin di Toko B
z = harga jeruk mandarin di Toko C
Jawab:
Jawab:
Dalam kalimat matematika yang sederhana, dapat dinyatakan sebagai berikut:
Total biaya pembelian jeruk mandarin dari ketiga toko adalah:
5x + 2y + 7z = 140.000 (dengan 140.000 merupakan total biaya)
Dengan menggunakan variabel x, y, dan z yang mewakili harga jeruk mandarin di masing-masing toko, persamaan di atas menggambarkan hubungan antara jumlah jeruk mandarin yang dibeli dan total biaya yang dikeluarkan.
Jika kita melempar tiga uang logam sekali, berapa banyak kemungkinan yang akan muncul? Seperti contoh di atas.
Jawab:
Ketika tiga uang logam dilempar sekali, terdapat 8 kemungkinan yang dapat muncul. Setiap uang logam memiliki dua sisi yang dapat muncul, yaitu gambar kepala atau gambar ekor. Dengan demikian, kombinasi dari tiga uang logam akan menghasilkan 2x2x2 = 8 kemungkinan yang berbeda.
Ali, Budi, dan Candra mau beli alat sekolah di Toko Budiman. Ali beli 2 pensil, 1 gunting, dan 3 buku dengan harga Rp 8.500,-. Budi beli 1 pensil, 3 gunting, dan 2 buku dengan harga Rp 10.000,-, sedangkan Candra cuma beli 5 pensil dan 2 buku dengan harga Rp 8.000,-. Nah, sekarang kita ubah ceritanya ke dalam bentuk matematika yang gampang dimengerti! Kita kasih tanda x untuk harga pensil, y untuk harga gunting, dan z untuk harga buku.
Jawab:
Kita tulis persamaannya:
2x + y + 3z = 8.500
x + 3y + 2z = 10.000
5x + 2z = 8.000
Persamaan linear tiga variabel
Kita mau bahas nih tentang persamaan linear tiga variabel. Jadi, tujuan kita belajar ini adalah buat ngasah otak kita tentang konsep persamaan tiga variabel yang ada di masalah-masalah sehari-hari, seperti perdagangan, harga barang, dan lain-lain. Kita bakal nemuin persamaan-persamaan ini dan pake konsep ini buat ngeresepin soal-soal yang ada.
Oke, misalnya kita lagi ngomongin harga barang jualan. Buat dapetin keuntungan yang cukup, harga barang yang kita tetapin harus kompetitif atau gak terlalu beda jauh dari harga pasar. Kita juga perlu mempertimbangkan biaya produksi dan sejenisnya. Nah, biasanya dalam nentuin harga jual barang, kita harus perhatiin tingkat permintaan, biaya produksi, keuntungan yang kita pengen dapetin, dan juga harga dan persaingan barang sejenis.
Di sini matematika dateng bantu banget buat tentuin harga jual. Misalnya, kamu punya usaha jus buah dan ada pesanan 100 gelas buat acara perpisahan. Biaya produksi yang diperkirakan itu Rp 400.000,- dengan rincian biaya bahan baku Rp 250.000,-, biaya tenaga kerja Rp 100.000,-, dan biaya lain-lain Rp 50.000,-. Kalo kita mau dapetin keuntungan 15%, maka Harga Total = Biaya Total + Laba = Rp 400.000,- + (15% x Rp 400.000,-) = Rp 460.000,-. Jadi, setiap gelas jus yang kamu jual, harganya Rp 4.600,-.
Contoh lainnya, misalnya kita lagi nyari harga buah di sebuah toko. Budi beli 3 kg jeruk, 2 kg anggur, dan 5 kg melon dengan bayar Rp 129.000,-; Sulaiman juga beli di toko yang sama dan hari yang sama, dia beli 1 kg jeruk, 3 kg anggur, dan 2 kg melon dengan bayar Rp 138.000,-; terus Zahra beli 4 kg jeruk, 5 kg anggur, dan 3 kg melon dengan bayar Rp 247.000,-. Nah, kalo Pak Anwar mau beli 10 kg jeruk, 10 kg anggur, dan 10 kg melon di toko itu, berapa yang harus dia bayar?
Kita bisa pake variabel aja buat nyatain harga-harga buahnya. Kita kasih a untuk harga 1 kg jeruk, b untuk harga 1 kg anggur, dan c untuk harga 1 kg melon. Nah, dari situ kita dapet persamaan-persamaan matematika berikut:
Budi: 3a + 2b + 5c = Rp 129.000,-
Sulaiman: a + 3b + 2c = Rp 138.000,-
Zahra: 4a + 5b + 3c = Rp 247.000,-
Terus, buat Pak Anwar, persamaannya jadi 10a + 10b + 10c. Nah, ini namanya persamaan linear tiga variabel. Kalo sistem persamaan ini banyak dan variabelnya sama, disebut sistem persamaan linear tiga variabel.
Jadi, bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel itu kayak gini:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Pertama, kita punya persamaan:
a1x + b1y + c1z = d1
Terus, ada persamaan yang kedua:
a2x + b2y + c2z = d2
Dan yang terakhir, kita punya persamaan:
a3x + b3y + c3z = d3
Itulah persamaan-persamaan yang melibatkan tiga variabel x, y, dan z. Kalo mau ngitung nilai-nilainya, kita bisa pake metode substitusi atau metode eliminasi. Tergantung metode yang lebih nyaman buat kita.
Nah, kalo kita bahas tentang variabelnya, ada tiga variabel yang kita sebut x, y, dan z.
Trus, koefisiennya tuh a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3.
Terus, ada konstanta juga yang kita sebut d1, d2, d3.
Kalo d1, d2, d3 semuanya nol, maka sistem persamaan linear itu disebut sistem persamaan linear homogen. Kalo gak semuanya nol, maka disebut sistem persamaan linear nonhomogen. Nah, kalo kita nemuin nilai x = x0, y = y0, z = z0 yang memenuhi sistem persamaan itu, berlaku hubungan seperti ini.
Pokoknya, pasangan nilai (x0, y0, z0) itu disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel. Dan kita sebut {(x0, y0, z0)} sebagai himpunan penyelesaiannya. Buat ngeresepin sistem persamaan linear tiga variabel, kita bisa pake metode substitusi atau metode eliminasi. Ada tiga metode substitusi dan/atau metode eliminasi yang bisa kita gunain.
Pembahasan untuk metode substitusi:
Metode Substitusi
1. Pertama, kita pilih salah satu persamaan yang lebih sederhana. Misalnya, kita pilih persamaan linear kedua.
2. Langkah selanjutnya, kita cari tahu nilai dari salah satu variabel (misalnya x) dalam bentuk variabel lain (y dan z).
3. Setelah itu, kita substitusikan persamaan yang kita temukan pada langkah sebelumnya ke dalam dua persamaan lainnya. Dengan begitu, kita akan mendapatkan sistem persamaan linear baru yang hanya melibatkan dua variabel.
4. Selanjutnya, kita selesaikan sistem persamaan baru tersebut untuk mencari nilai y dan z.
5. Terakhir, kita substitusikan nilai y dan z yang kita dapatkan ke dalam persamaan semula untuk mencari nilai x. Dengan begitu, kita akan mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel.
Itulah pembahasan singkat mengenai metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Dengan metode ini, kita bisa mencari nilai-nilai dari setiap variabel dan menemukan solusi dari sistem persamaan tersebut.
Contoh 1:
Diketahui sistem persamaan linear
2x + y + z = 7
x +2y - z = 2
3x - y + 2z = 7
dengan menggunakan metode substitusi, tentukan nilai dari x, y dan z!
Jawab:
2x + y + z = 7 .. ...... (i)
x + 2y-z = 2 .. ...... (ii)
3x-Y+2z = 7 .. ...... (iii)
• Persamaaan (i) saya ubah kedalam fungsi x dan z
2x + y + z = 7
y = 7 - 2x - z . ... ... ... (iv)
• Persamaan (iv) saya substitusikan ke pers. (ii)
x + 2y - z = 2
x + 2(7 - 2x - z) - z = 2
x + 14 - 4x - 2z - z = 2
x - 4x - 2z - z = 2 - 14
-3x - 3z = -12 (dibagi - 3)
x + z = 4
x = 4 - z ............ (v)
• Persamaan (iv) saya substitusikan ke pers. (iii)
3x - y + 2z = 7
3x - (7 - 2x - z) + 2z = 7
3x - 7 + 2x + z + 2z = 7
3x + 2x + z + 2z = 7 + 7
5x + 3z = 14 .. ....... (vi)
Persamaan (v) disubstitusikan ke persamaan (vi) sehingga diperoleh
5x + 3z = 14
5(4 - z) + 3z = 14
20 - 5z + 3z = 14
-2z = 14 - 20
z = -6 / -2 → z = 3
Substitusikan z = 3 kedalam persamaan (v) sehingga diperoleh
x + z = 4
x + 3 = 4
x = 4-3
x = 4 - 3
x = 1
Substitusikan x = 1 dan z = 3 kedalam persamaan (i) sehingga diperoleh
2x + y + z = 7
2(1) + y + 3 = 7
y = 7-2-3
y = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1.2.3)}
Metode eliminasi dan substitusi
Metode eliminasi dan substitusi tuh buat ngeresepin persamaan-persamaan linear yang ada tiga variabelnya. Nah, caranya tuh gampang banget. Ini langkah-langkahnya:
1. Pertama-tama, pilih aja variabel yang mau kita ilangin atau kita eliminasi, misalnya variabel x. Nah, kita harus samain koefisien x di persamaan pertama sama persamaan kedua. Caranya, kalikan aja salah satu persamaannya dengan angka biar tetep sama nilainya. Terus, kurangin persamaan yang udah dikalikan tadi sama persamaan kedua. Jadi, kita dapet persamaan baru yang cuma ada dua variabel.
2. Nah, langkah kedua, sekarang samain koefisien x di persamaan pertama sama persamaan ketiga. Caranya, kalikan persamaannya sama angka biar sama nilainya. Terus, kurangin persamaan yang udah dikalikan tadi sama persamaan ketiga. Jadi, kita dapet persamaan baru yang juga cuma ada dua variabel.
3. Nah, langkah terakhir, selesain aja persamaan baru yang cuma ada dua variabel itu. Kita dapet nilai y dan z. Terus, gantilah nilai y dan z yang udah kita dapetin ke salah satu persamaan yang ada tiga variabelnya buat dapetin nilai x.
Contoh 2:
1. Diketahui sistem persamaan linear
2x + y + z = 7
x + 2y -z = 2
3x - Y + 2z = 7
dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan nilai dari x, y dan z!
Jawab:
2x + y + z = 7 .......... (i)
x + 2y - z ........ (ii)
3x - y + 2z = 7 .......(iii)
• Eliminasi antara persamaaan (i) dan (ii)
2x + y + z = 7
x + 2y - z = 2
______________ +
3x + 3y = 9
x + y = 3 ........... (iv)
• Eliminasi antara persamaan (i) dan (iii)
2x + y + z = 7 |x2| 4x + 2y + 2z = 14
3x - y + 2z = 7 |xl| 3x - y + 2z = 7
__________________-
x + 3y = 7 ............ (v)
• Eliminasi antara persamaan (iv) dan pers. (v)
x + y = 3
x + 3y = 7
___________ -
-2y = -4
y = -4 / -2 → y = 2
Antara persamaan (v) dan (vi) menggunakan konsep penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu
x + y = 3 |x3| 3x + 3y = 9
x + 3y = 7 |xi| x + 3y = 7
____________ -
2x = 2
x = 2 / 2 = 1
Substitusikan x = 1, y = 2 kedalam persamaan (i) sehingga diperoleh
2x + y + z = 7
2(1) + 2 + z = 7
z = 7 - 2 - 2
z = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1.2.3)}
Contoh 3:
1. Diketahui sistem persamaan linear
2x + y + z = 7
x + 2y - z = 2
3x - Y + = 7
dengan menggunakan gabungan, tentukan nilai dari x, y dan z!
Jawab:
2x + y + z = 7 ............ (i)
x + 2y - z = 2 .............. (ii)
3x - y + 2z = 7 ............(iii)
TUGAS
PENYELESAIAN MASALAH TERKAIT SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Ada lima hal penting yang harus diperhatiin buat mengelola keuangan, nih:1. Pisahin keuangan pribadi sama keuangan perusahaan.2. Pake pembukuan keuangan.3. Rencanain penggunaan uang dengan baik.4. Kelola kas dengan efektif.5. Pastiin perhitungan keuntungan itu bener.
Kirim Pesan via WA
Posting Komentar